Probabilités avancés
Ref: 2EL1710
Description
Ce cours théorique fait suite au cours de Mathématiques de 1ère année, qui comprend les concepts de base de la théorie des probabilités. Il introduit les fondements de la théorie générale de processus stochastiques, prenant en compte l'évolution temporelle de concepts aléatoires.
Ces modèles probabilistes constituent les objets mathématiques de base pour modéliser des phénomènes à forte variabilité, incertains ou dont la complexité rend impossible une description déterministe fine. Parmi eux, le mouvement brownien est largement utilisé pour décrire les phénomènes (naturels, physiques, biologiques ou financiers) à base d'équations différentielles stochastiques. Il se situe au carrefour de classes importantes telles que martingales, processus de Markov ou processus gaussiens, dont il hérite des propriétés.
L'objectif de ce cours est l'étude théorique des deux premières familles de processus stochastiques, dans le cas particulier où les paramètres sont dans un espace discret, puis d'introduire les processus gaussiens indicés par les réels. Le cours revêt le format classique d'un cours de mathématiques dans lequel les théorèmes fondamentaux sont démontrés au tableau.
Période(s) du cours
SG6
Prérequis
Cours de CIP du cursus CentraleSupélec ou les cours de dernière année de Licence de Mathématiques : Intégration, théorie de la mesure, Probabilités.
Syllabus
Martingales à temps discrets : étude des martingales à temps discrets ; martingales et stratégie de jeu ; résultats de convergence
Chaînes de Markov : opérateurs de transition, propriété de Markov et chaîne de Markov canonique ; classification des états, récurrence/transience ; résultats asymptotiques
Processus gaussiens et introduction au mouvement brownien : loi d'un processus stochastique ; processus gaussiens, bruit blanc et introduction au mouvement brownien
Composition du cours
Cours magistraux entièrement au tableau (résultats, preuves et exemples) : 19h30
Travaux dirigés : 9h
Ressources
Equipe enseignante (noms des enseignants des cours magistraux) : Erick Herbin
Un seul groupe de TD (effectif complet) : Philippe Bouafia
Résultats de l'apprentissage couverts par le cours
L'objectif de ce cours est l'étude théorique des deux premières familles de processus stochastiques, dans le cas particulier où les paramètres sont dans un espace discret, puis d'introduire les processus gaussiens indicés par les réels.
Support de cours, bibliographie
Notes de cours et éléments de correction d'exercices en ligne